STEP 1
| 공식 | 포인트 |
|---|---|
| (a+b)² = a² + 2ab + b² | 완전제곱식 — 가장 기본, 부호 주의 |
| (a−b)² = a² − 2ab + b² | 가운데 항 부호만 다름 |
| (a+b)(a−b) = a² − b² | 합차공식 — 인수분해에서 최다 출제 |
| (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab | 합과 곱 — 이차식 인수분해의 핵심 |
| (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd | 십자곱(크로스) 인수분해의 근거 |
| (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | 세제곱 전개 — 고1 과정 |
| (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | 부호가 교대로 나타남 |
| (a+b)(a² − ab + b²) = a³ + b³ | 세제곱의 합 — 인수분해 형태로 암기 |
| (a−b)(a² + ab + b²) = a³ − b³ | 세제곱의 차 |
| (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca | 세 항 완전제곱 — 곱의 항 3개 주의 |
STEP 2
가장 먼저 모든 항의 공통인수를 밖으로 묶습니다. 예: 2x² + 4x = 2x(x+2). 이 단계를 건너뛰면 뒤가 복잡해집니다.
항이 2개면 합차·세제곱 공식, 3개면 완전제곱·합과 곱 형태인지 확인합니다.
x² 계수가 1이 아니면 십자곱(크로스)으로 계수 조합을 찾습니다.
공통 덩어리가 보이면 한 문자로 치환해 단순화합니다. 고1 시험의 단골 기법입니다. 예: (x+1)² − 5(x+1) + 6 = (x+1−2)(x+1−3) = (x−1)x
인수분해가 안 되면 근의공식으로 풀고, 그 근 α, β를 이용해 (x−α)(x−β) 형태로 표현합니다. 시험에서는 인수분해 형태가 깔끔하게 나오는 경우가 대부분이므로, 처음 3단계를 반복 연습하면 충분합니다.
STEP 3
1. 103² 을 곱셈공식으로 계산하면?
2. x² − 9 를 인수분해하면?
3. x² + 5x + 6 을 인수분해하면?
4. a³ + 8 을 인수분해하면?
5. (2x+1)(3x+2) 를 전개하면?
STEP 4
STEP 5
중3: 곱셈공식 10개 중 처음 5개(기본 인수분해)에 집중합니다. 완전제곱식(a±b)²과 합차공식(a+b)(a−b) = a²−b², 그리고 두 수의 합과 곱으로 인수분해하는 x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) 정도면 충분합니다.
고1: 세제곱 공식과 복잡한 인수분해가 추가됩니다. (a+b)³, a³±b³를 다항식 전개와 인수분해에 쓰게 되고, 고차식이나 치환을 이용한 인수분해도 나옵니다. 특히 a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)은 내신·수능 단골 공식입니다.
고2 이상: 공식 자체는 더 추가되지 않지만, 함수 변형(y=(x−1)²(x+2) 형태), 미분(도함수의 인수분해), 통계(데이터 변환)에서 암묵적으로 나타납니다.
STEP 6
| 공식 | 중3에서 | 고1에서 | 주의점 |
|---|---|---|---|
| (a+b)² | a²+2ab+b² | 변형: (x+3)²−5(x+3)+6 | 중간 항 2ab를 빼먹는 실수 많음 |
| a²−b² | 인수분해 기초 | 함수 영점: y=(x+1)(x−1)과 y=x²−1 | 합차는 '제곱'끼리만 성립 |
| (a+b)³ | 배우지 않음 | 전개: a³+3a²b+3ab²+b³ | 중간 항 3a²b, 3ab²의 계수 3 필수 |
| a³±b³ | 배우지 않음 | 인수분해: (a±b)(a²∓ab+b²) | 부호를 섞어 쓰기 쉬움: a³−b³는 +가 들어감 |
STEP 7
STEP 8
STEP 9
교재의 STEP 1 공식 표를 보고, 각 공식을 (a+b)(a+b)처럼 전개하며 왜 그 결과가 나오는지 손으로 써 봅니다. 외우기 전에 이해가 먼저입니다.
STEP 3 확인문제를 풀고, 틀린 부분에서 어느 공식을 놓쳤는지 찾습니다. 같은 형태의 문제를 3개 이상 풀면 손에 붙기 시작합니다.
STEP 8의 자주 틀리는 실수를 피하며 변형된 문제(치환, 조건식)를 풀어봅니다. 고1 진학 전에 여기까지 완성하면 첫 시험이 한결 편해집니다.
이후 모든 단원의 도구이기 때문입니다. 이차방정식·판별식·함수의 표준형 변형까지 곱셈공식과 인수분해를 기반으로 진행되므로, 여기가 느리면 모든 단원이 느려집니다.
기본 곱셈공식과 인수분해는 중3에서 배우고, 세제곱 공식과 복잡한 인수분해는 고1 수학(상)에서 확장됩니다. 중3 겨울방학에 세제곱 공식까지 미리 정리해 두면 고1 첫 단원이 편해집니다.
전개를 직접 해 보며 유도 과정으로 기억하는 것이 가장 오래갑니다. (a+b)²을 (a+b)(a+b)로 놓고 분배법칙으로 전개해 보면 왜 2ab가 나오는지 몸으로 익힐 수 있습니다.
곱셈공식은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 인수분해 공식이 됩니다. 예를 들어 a²−b² = (a+b)(a−b)를 역방향으로 읽으면 (a+b)(a−b) = a²−b²가 인수분해입니다. 따라서 곱셈공식 하나를 제대로 이해하면 인수분해도 자동으로 풀립니다.
세제곱 전개식 (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 와 세제곱 합·차 인수분해 a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²), a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²) 입니다. 고1 1학기 시험과 수능에서 반복 출제되므로 반드시 손에 붙여야 합니다.
수학(상) 첫 단원 다항식에서 이 공식들이 전부 도구로 쓰입니다. 1년 로드맵과 함께 학습하세요.
고1 페이지학생이 직접 전개·인수분해를 쓰고, 선생님이 계산 습관(부호·검산)을 실시간으로 교정합니다. 공식 암기가 아니라 손에 붙이는 것이 핵심입니다.
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막힌 단원을 확인할 수 있게 준비해서 연락드리겠습니다.