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근의공식 총정리 — 유도·짝수 공식·판별식을 한 장으로

중급공식중3–고1 권장

STEP 1

근의공식 공식은 하나, 쓰는 형태는 둘

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 근은 아래 한 줄입니다. x의 계수 b가 짝수이면 두 번째 형태(짝수 근의공식)로 계산이 절반으로 줄어듭니다.
형태공식언제 쓰나
일반형x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a모든 이차방정식. 분모가 2a 임을 반드시 확인
짝수 공식b = 2b′ 일 때 x = (−b′ ± √(b′² − ac)) / ax² + 4x + 1 = 0 처럼 b가 짝수일 때. 약분 과정이 사라짐
유도 과정x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²완전제곱식으로 만들기. 이 두 줄을 직접 써 보면 공식이 오래 남음

STEP 2

판별식 D = b² − 4ac 루트 안이 근의 개수를 결정

D > 0 — 서로 다른 두 실근

루트 안이 양수이므로 ± 로 두 개의 값이 나옵니다. 그래프로는 x축과 두 점에서 만납니다.

D = 0 — 중근(같은 근 하나)

루트 안이 0이라 ± 가 사라지고 x = −b/2a 하나만 남습니다. "중근을 가질 때 k의 값"은 내신 단골입니다.

D < 0 — 실근 없음

중3에서는 "근이 없다", 고1에서는 허근 두 개로 답합니다. √(−16) = 4i 로 바꾸는 순간 고1 문제가 됩니다.

짝수 공식의 판별식

b = 2b′ 이면 D/4 = b′² − ac 로 부호 판정이 됩니다. 값은 달라도 부호는 D와 같으므로 근의 개수 판정에 그대로 씁니다.

STEP 3

확인 문제 Check-up

1. x² − 5x + 6 = 0 의 두 근은?

정답 보기
x = 2, 3 — 인수분해 (x−2)(x−3)=0 이 빠르지만, 근의공식으로도 x = (5 ± √(25−24))/2 = (5 ± 1)/2 로 같은 답이 나옵니다.

2. 2x² + 3x − 2 = 0 을 근의공식으로 풀면?

정답 보기
x = (−3 ± √(9+16))/4 = (−3 ± 5)/4 → x = 1/2 또는 x = −2. a=2 이므로 분모가 2a=4 인 것을 놓치지 마세요.

3. x² + 4x + 1 = 0 을 짝수 근의공식으로 풀면?

정답 보기
b = 4 = 2·2 이므로 b' = 2. x = −2 ± √(4−1) = −2 ± √3. 일반 공식보다 약분이 없어 빠릅니다.

4. x² − 2x + 5 = 0 의 실근 개수는?

정답 보기
0개 — 판별식 D = 4 − 20 = −16 < 0. 고1에서는 허근 x = 1 ± 2i 로 씁니다.

5. x² + kx + 9 = 0 이 중근을 가질 때 k는?

정답 보기
k = ±6 — 중근 조건 D = k² − 36 = 0. 부호 두 개를 모두 답해야 만점입니다.

STEP 4

심화 포인트 Deep Dive

근과 계수의 관계(고1): 두 근을 α, β 라 하면 α + β = −b/a, αβ = c/a 입니다. 근을 직접 구하지 않고 α² + β² = (α+β)² − 2αβ 처럼 곱셈공식 변형으로 값을 구하는 문제가 고1 중간고사 단골입니다. 근의공식으로 α, β를 구한 뒤 대입하면 계산이 길어지니, "합과 곱"으로 먼저 접근하세요.
자주 틀리는 3가지: ① 분모를 2가 아니라 2a 로 쓰기 ② b가 음수일 때 −b 의 부호(−(−3) = +3) ③ 루트 안 계산에서 4ac 의 부호(c가 음수면 4ac 도 음수 → 더하기가 됨). 시험 직전에 이 세 줄만 확인해도 계산 실수의 대부분이 사라집니다.

STEP 5

일반형 vs 짝수 공식 비교 선택 기준과 장단점

비교일반형: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a짝수 공식: x = (−b′ ± √(b′²−ac)) / a (b=2b′)
언제 쓸까모든 이차방정식. 항상 적용 가능x의 계수 b가 짝수일 때만. 예: 2x²+4x+1=0
계산 단계4ac 계산 → 판별식 전체 계산 → 약분b'=b/2 단순화 → ac 계산 → 약분 없음
장점만능 공식, 실수할 여지 없음계산 단계 절반, 약분 오류 방지
주의점분모 2a 누락, b 부호 혼동 위험b'를 제대로 구했는지 확인 필수

STEP 6

학년별 시험 출제 방식 중3·고1·수능의 차이

중3 내신

  • 근의공식 직접 계산 (a, b, c 값 대입)
  • 판별식 부호로 근의 개수 판정
  • 중근 조건 (D=0)을 이용한 k 구하기
  • 간단한 계수로 계산 검증 용이

고1 내신

  • 근과 계수 관계: α+β, αβ 이용
  • 근의공식 + 허근: x = a ± bi 형태
  • 판별식 조건을 포함한 부등식 문제
  • 이차함수·판별식·인수분해 복합 문제

수능 기출

  • 근의 대소 비교, 근의 위치 판정
  • 조건 → 계수 역추론 문제
  • 판별식을 이용한 그래프 교점 개수
  • 빠른 판별과 효율적 계산이 핵심

STEP 7

자주 틀리는 계산 실수 Top 5

① 분모 2a를 2로 축약: x² + 3x + 1 = 0에서 분모가 2·1=2 아닌데, 3x² + 3x + 1 = 0이면 분모는 2·3=6이어야 함.
② b 계수의 부호 실수: x² − 5x + 6 = 0에서 −b = −(−5) = 5 를 −5로 쓰기.
③ 루트 안 4ac 계산 오류: a=1, c=−9이면 4ac = 4·1·(−9) = −36(음수)인데, 절댓값만 보고 36으로 계산.
④ 짝수 공식에서 b'을 구하지 않기: b = 6이면 b' = 3을 대입해야 하는데, 그냥 6을 사용.
⑤ 판별식 D와 D/4 헷갈리기: 짝수 공식에서는 D/4 = b'² − ac를 쓰는데, 전체 D = 4(b'² − ac)로 착각.

STEP 8

근의공식 숙달 3단계 처음부터 끝까지의 학습 순서

1

기초: 공식 암기와 완전제곱식 이해

1~2주

근의공식이 완전제곱식 (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a² 에서 유도되는 과정을 직접 써 봅니다. 이해가 먼저면 부호와 분모를 틀리지 않습니다.

2

중급: 계산 반복과 판별식 연계

2~3주

STEP 3 확인문제를 풀고, 판별식 D의 부호로 근의 개수를 먼저 예측한 후 공식으로 구해봅니다. 두 방법이 일치하면 이해도가 높습니다.

3

심화: 근과 계수·응용 문제

2~3주

근의 합과 곱을 이용한 문제, 판별식 조건식, 허근 포함 문제까지 풀어봅니다. 고1 진학 전에 여기까지 완성하면 함수·부등식 단원이 한결 편해집니다.

자주 묻는 질문

Q.근의공식은 몇 학년에서 배우나요?

중3 2학기 이차방정식 단원에서 처음 배우고, 고1 수학(상)에서 판별식·허근·근과 계수의 관계로 확장됩니다. 중3에서 공식을 손에 붙여 두면 고1 첫 시험이 편해집니다.

Q.인수분해가 되는데도 근의공식을 써야 하나요?

인수분해가 보이면 그쪽이 빠릅니다. 근의공식은 인수분해가 안 되는 계수(무리수 근·허근)일 때 쓰는 만능 도구입니다. 시험에서는 두 방법을 모두 요구하므로 둘 다 익혀야 합니다.

Q.공식이 자꾸 헷갈리는데 외우는 요령이 있나요?

완전제곱식으로 유도 과정을 두 번만 직접 써 보세요. ax²+bx+c=0 을 a로 나누고 (x + b/2a)² 꼴로 만드는 과정을 이해하면 부호와 분모(2a)를 틀리지 않습니다. 짝수 공식은 b'=b/2 로 대입한다는 것만 기억하면 됩니다.

Q.일반형과 짝수 공식의 차이를 어떻게 구분하나요?

b(x의 계수)가 짝수인지 홀수인지 확인하세요. b = 4, 6, −8 같은 짝수면 짝수 공식을 사용하면 계산이 간단합니다. b = 3, 5, −7 같은 홀수면 일반형을 써야 합니다. 짝수 공식은 약분 단계가 줄어들어 실수를 줄일 수 있습니다.

Q.판별식이 음수면 답이 뭔가요?

중3에서는 '근이 없다'라고 답하고, 고1에서는 허근을 씁니다. 판별식 D = −16이면 √D = √(−16) = 4i 이므로 x = (−b ± 4i) / 2a 형태로 답합니다. 허근은 실수가 아니므로 그래프는 x축과 만나지 않습니다.

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