STEP 1
| 형태 | 식 | 바로 읽히는 것 |
|---|---|---|
| 표준형 | y = a(x − p)² + q | 꼭짓점 (p, q), 축 x = p, 최댓값·최솟값 q |
| 일반형 | y = ax² + bx + c | y절편 c, 축 x = −b/2a, 볼록 방향(a의 부호) |
| 인수분해형 | y = a(x − α)(x − β) | x절편 α, β. 축은 두 절편의 가운데 (α+β)/2 |
STEP 2
a > 0 이면 아래로 볼록(∪, 최솟값 존재), a < 0 이면 위로 볼록(∩, 최댓값 존재). |a| 가 클수록 폭이 좁아집니다.
표준형이면 (p, q) 를 바로 읽고, 일반형이면 x = −b/2a 를 구해 대입합니다. 축은 꼭짓점을 지나는 세로선 x = p 입니다.
x = 0 을 대입한 값입니다. 일반형이면 상수항 c 가 그대로 y절편입니다. 그래프가 y축과 만나는 점을 찍습니다.
y = 0 으로 놓고 이차방정식을 풉니다. 판별식 D < 0 이면 x축과 만나지 않으므로 절편 없이 꼭짓점·y절편만으로 그립니다.
STEP 3
1. y = x² − 4x + 3 의 꼭짓점은?
2. y = −2(x+1)² + 5 의 축과 최댓값은?
3. y = x² + 2x − 3 과 x축의 교점은?
4. y = x² − 6x + k 가 x축에 접할 때 k는?
5. y = x² 을 x축 방향으로 3, y축 방향으로 −2 만큼 평행이동한 식은?
STEP 4
STEP 5
| 변환 | 방법 | 언제 쓸까 | 주의점 |
|---|---|---|---|
| 일반 → 표준 | 완전제곱식 변형: y = a(x + b/2a)² − (b² − 4ac)/4a | 꼭짓점·최대·최소 구할 때 | 분수 계산 주의, 부호 실수 많음 |
| 일반 → 인수분해 | y = 0을 풀어 근 α, β 구한 후 y = a(x − α)(x − β) | x절편 알고 싶을 때 | 판별식 음수면 불가능 |
| 표준 → 일반 | 전개: y = a(x − p)² + q = ax² − 2apx + ap² + q | 표준형에서 일반형 계수 필요할 때 | 계산 실수 많음 |
| 인수분해 → 표준 | 축은 (α + β)/2, 꼭짓점은 축에서의 y값 | 인수분해형에서 꼭짓점 구할 때 | 중근일 때(α = β) 특히 주의 |
STEP 6
STEP 7
STEP 8
표준형 y = a(x−p)² + q에서 꼭짓점을 읽고, 일반형 y = ax² + bx + c로 완전제곱식을 변형하며, 인수분해형 y = a(x−α)(x−β)에서 x절편을 찾는 과정을 반복합니다.
꼭짓점, 축, y절편, x절편(판별식 확인), 볼록 방향 다섯 가지를 모두 표시하면서 그래프를 그립니다. 그래프와 판별식이 일치하는지 확인하며 개념을 연결합니다.
"1 ≤ x ≤ 4에서 최댓값·최솟값", 이차부등식, 다른 함수와의 교점 등 고1 문제를 풀어봅니다. 중3 진학 전에 여기까지 완성하면 고1 함수 전반이 수월해집니다.
중3 2학기에 y = a(x−p)² + q 꼴과 그래프를 처음 배우고, 고1 수학(상)에서 최대·최소, 판별식과 x축 교점, 이차부등식으로 확장됩니다. 중3에서 꼭짓점 찾기가 안 되면 고1 이차함수 단원 전체가 흔들립니다.
x좌표는 −b/2a 로 즉시 구하고, 그 값을 식에 대입해 y좌표를 얻습니다. 완전제곱식 변형이 정석이지만 시험장에서는 이 방법이 빠릅니다. 단, 서술형은 변형 과정을 써야 감점이 없습니다.
꼭짓점, 축, y절편(x=0 대입), x절편(있으면), 그리고 볼록 방향(a의 부호) 다섯 가지입니다. 이 다섯 개만 있으면 어떤 이차함수든 채점 기준을 모두 채웁니다.
표준형 y = a(x−p)² + q는 최대·최소값을 구할 때, 일반형 y = ax² + bx + c는 y절편과 축을 찾을 때, 인수분해형 y = a(x−α)(x−β)는 x절편을 바로 읽을 때 씁니다. 같은 그래프인데 어느 형태가 주어졌느냐에 따라 계산 편의가 달라집니다.
판별식 D = b² − 4ac의 부호가 그래프와 x축의 만남을 결정합니다. D > 0이면 x축과 두 점에서 만나고(x절편 2개), D = 0이면 한 점에서 접하고(x절편 1개), D < 0이면 만나지 않습니다(x절편 없음). 그래프를 정확히 그리려면 이 판정이 필수입니다.
이차함수는 중3 2학기 마지막 단원이자 고1의 출발점입니다. 꼭짓점·축·평행이동을 확실히 잡는 로드맵을 확인하세요.
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