STEP 1
| 번호·공식 | 인수분해 결과 | 판단 힌트 |
|---|---|---|
| ① 공통인수 | ma + mb = m(a + b) | 모든 항에 공통으로 있는 문자·수를 밖으로. 항상 가장 먼저 확인 |
| ② 완전제곱식 | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² | 항 3개, 양 끝이 제곱, 가운데가 2×(두 제곱근의 곱) |
| ③ 합차공식 | a² − b² = (a + b)(a − b) | 항 2개, 제곱의 차. 4x² − 9 = (2x+3)(2x−3) |
| ④ x² 계수 1 | x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b) | 합이 일차항 계수, 곱이 상수항인 두 수 찾기 |
| ⑤ x² 계수 1 아님 | acx² + (ad+bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) | 십자곱(크로스) 방법으로 계수 조합 찾기 |
| ⑥ 세제곱의 합 | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | 고1. 뒤 괄호의 가운데 부호가 앞과 반대 |
| ⑦ 세제곱의 차 | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | 고1. 뒤 괄호는 인수분해되지 않음(더 못 쪼갬) |
| ⑧ 완전세제곱 | a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³ | 고1. 항 4개, 계수 1·3·3·1 |
| ⑨ 세 문자 완전제곱 | a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² | 고1. 제곱 3개 + 곱 3개×2 |
| ⑩ 세제곱 합 응용 | a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) | 고1. a+b+c = 0 이면 a³+b³+c³ = 3abc |
| ⑪ 복이차식 | x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² − x + 1) | 고1. x⁴+ax²+b 꼴은 x²=t 치환 또는 (x²+1)² − x² 로 변형 |
| ⑫ 치환 | (x²+3x)² − 2(x²+3x) − 8 → t = x²+3x | 공통 덩어리가 보이면 한 문자로 바꿔 ④번으로 |
STEP 2
2x² + 8x + 8 처럼 모든 항에 공통인수가 있으면 먼저 묶습니다 → 2(x² + 4x + 4) = 2(x+2)². 이 단계를 건너뛰면 ⑤번 십자곱이 불필요하게 복잡해집니다.
항 2개 → 합차(③)·세제곱(⑥⑦). 항 3개 → 완전제곱(②)·합과 곱(④⑤). 항 4개 → 두 개씩 묶어 공통인수 찾기 또는 완전세제곱(⑧). 항 6개 → ⑨번 검토.
같은 덩어리가 반복되면 t로 치환합니다. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) − 24 처럼 네 인수의 곱은 상수 합이 같은 것끼리 짝지어 (x²+5x+4)(x²+5x+6) 으로 만든 뒤 치환합니다(고1 단골).
x⁴ − 16 = (x²+4)(x²−4) 에서 멈추면 감점입니다. (x²−4) 가 다시 합차로 쪼개져 (x²+4)(x+2)(x−2) 가 답입니다. "더 이상 인수분해되지 않을 때까지"가 채점 기준입니다.
STEP 3
1. x² − 7x + 12 를 인수분해하면?
2. 3x² + 10x + 3 을 인수분해하면?
3. 8x³ + 27 을 인수분해하면?
4. x⁴ − 5x² + 4 를 인수분해하면?
5. a + b + c = 0 일 때 a³ + b³ + c³ 의 값을 abc 로 나타내면?
STEP 4
STEP 5
중3(①~⑤): 공통인수·완전제곱식·합차공식·합과 곱·십자곱 5개 공식입니다. 계수가 작고 항 개수가 2~3개라서 시각적으로 판단하기 쉽습니다. 이 5개만 빠르고 정확히 하면 중3 시험은 문제없습니다.
고1(⑥~⑫): 세제곱·세 문자 포함·복이차·치환까지 확장됩니다. 계수가 크거나 항이 많아서 한눈에 안 들어오고, 순서를 바꿔서 풀어야 하는 경우도 있습니다. 중3 5개를 자동화한 뒤라야 고1 심화도 이해 가능합니다.
STEP 6
①~⑤를 각각 한 줄씩 외우고, 문제를 풀 때마다 공식을 보면서 맞는지 확인합니다. 외운 후 공식 없이 풀어봅니다.
STEP 2 인수분해 순서 4단계를 반복하면서 "이건 어느 공식?"을 1초 내 판단하는 훈련을 합니다. 속도가 붙으면 시험장에서 여유가 생깁니다.
중3 기초가 탄탄하면 고1 6~12번까지 자연스럽게 확장됩니다. 특히 치환 기법을 이해하면 고차식도 쪼갤 수 있습니다.
중3 1학기에 공통인수·완전제곱·합차·합과 곱(①~⑤)을 배우고, 고1 수학(상) 다항식 단원에서 세제곱·세 문자·복이차·치환(⑥~⑫)으로 확장됩니다.
①~⑤는 반드시 손에 붙여야 하고, ⑥~⑩은 곱셈공식을 거꾸로 전개해 보며 유도할 수 있으면 됩니다. ⑪⑫는 공식이 아니라 "치환·변형 방법"이므로 예제 두 개를 직접 풀어 두는 것이 암기보다 낫습니다.
네, 상단의 인쇄·PDF 저장 버튼으로 출력해 학습에 사용하실 수 있습니다. 결과 칸을 가리고 왼쪽 식만 보며 맞히는 연습에 쓰기 좋습니다.
중3은 기본 5개 공식을 빠르고 정확하게 인식하는 데 집중합니다. 고1에서는 여러 공식이 섞인 복합 문제, 세 문자 a, b, c가 들어간 식, 그리고 치환을 이용한 변형까지 확장됩니다. 중3 기초가 탄탄하면 고1 심화도 자연스럽습니다.
완전히 인수분해되지 않는 식도 있습니다. 최대한 공통인수를 빼내거나 공식을 적용한 후, 더 이상 인수분해할 수 없으면 "여기까지"라고 쓰면 됩니다. 방정식을 풀 때는 근의공식으로 근을 구한 뒤 a(x−α)(x−β) 형태로 표현합니다.
인수분해·이차방정식·이차함수가 이어지는 중3 단원 흐름을 확인하세요.
중3 페이지다항식·인수분해 심화가 수학(상) 첫 단원입니다. 1년 로드맵과 함께 준비하세요.
고1 페이지함께 보면 좋은 교재: 곱셈공식·인수분해 총정리 · 근의공식 총정리
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