홈›수학교재›도형›삼각비

삼각비 총정리 — 변 이름 정하기부터 특수각 표까지

중급도형중3
삼각비는 중3 2학기 단원으로, 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 두 변의 길이의 비가 일정하다는 성질을 이용합니다. 고등학교 삼각함수의 출발점이라 특수각 값은 반드시 손에 붙여야 합니다.

STEP 1

sin·cos·tan의 뜻 기준각을 먼저 표시한다

∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 기준각을 A라고 할 때, 빗변은 AB, 기준각의 대변은 BC, 이웃변(밑변)은 AC입니다.
삼각비정의외우는 연상
sin A높이 ÷ 빗변 = BC/AB필기체 s 모양으로 빗변→높이
cos A밑변 ÷ 빗변 = AC/AB필기체 c 모양으로 빗변→밑변
tan A높이 ÷ 밑변 = BC/AC필기체 t 모양으로 밑변→높이

STEP 2

특수각 삼각비 표 30°·45°·60°와 0°·90°

각도sincostan
0°010
30°1/2√3/2√3/3 (=1/√3)
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10정할 수 없음

STEP 3

특수각 외우는 요령 표를 그리는 순서를 외운다

sin은 √1, √2, √3을 2로 나눈다

30°, 45°, 60° 순서로 sin은 √1/2, √2/2, √3/2. 각이 커질수록 sin은 커집니다.

cos은 sin을 거꾸로

cos 30° = sin 60°처럼 합이 90°인 두 각에서 sin과 cos이 서로 바뀝니다. 그래서 cos은 √3/2, √2/2, 1/2.

tan은 sin ÷ cos

tan A = sin A ÷ cos A. 30°는 (1/2)÷(√3/2) = 1/√3, 60°는 √3. 45°는 1.

직각삼각자 두 장으로 확인

30°·60°·90° 삼각형의 변의 비 1 : √3 : 2, 45°·45°·90° 삼각형의 변의 비 1 : 1 : √2를 그려 보면 표 전체가 다시 만들어집니다.

STEP 4

활용 문제 3유형 높이·거리·넓이

유형쓰는 식예시
건물·나무 높이높이 = 거리 × tan(올려본각)10m 떨어져 올려본각 60°: 10√3 m
비탈길·사다리높이 = 길이 × sin, 수평거리 = 길이 × cos길이 4m, 30°: 높이 2m
삼각형 넓이S = ½ × a × b × sin C (C가 예각일 때)두 변 6, 8, 끼인각 30°: 12
둔각이 끼인 넓이S = ½ × a × b × sin(180° − C)두 변 4, 5, 끼인각 150°: 5

STEP 5

자주 틀리는 3가지 변 이름·각도·근삿값

기준각이 바뀌면 변 이름도 바뀐다: 같은 삼각형이라도 ∠B를 기준으로 하면 높이와 밑변이 서로 바뀝니다. 문제마다 기준각에 동그라미부터 칩니다.
삼각비 표 읽기: 교과서 부록의 삼각비 표(0°~90°, 소수 넷째 자리)는 근삿값입니다. 답에 '약'을 붙이거나 문제에서 준 값만 사용합니다.
tan 90°: 밑변이 0이 되어 값을 정할 수 없습니다. '무한대'라고 쓰지 않습니다.

STEP 6

확인 문제 Check-up

1. 빗변이 10, 높이가 6인 직각삼각형에서 기준각 A의 sin A, cos A, tan A는?

정답 보기
sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4 — 밑변은 피타고라스 정리로 8.

2. sin 30° + cos 60°의 값은?

정답 보기
1 — 1/2 + 1/2.

3. tan 45° × sin 60°의 값은?

정답 보기
√3/2 — 1 × √3/2.

4. 나무에서 20m 떨어진 곳에서 꼭대기를 올려본각이 45°일 때 나무의 높이(눈높이 무시)는?

정답 보기
20m — 높이 = 20 × tan 45° = 20.

5. 두 변의 길이가 6, 10이고 끼인각이 60°인 삼각형의 넓이는?

정답 보기
15√3 — ½ × 6 × 10 × √3/2.
이 단원에서 막힌다면 삼각비는 기준각을 잘못 잡는 순간 모든 답이 틀어집니다. 화상 1:1 수업에서는 학생이 그림에 표시한 기준각과 변 이름을 실시간으로 확인해 습관을 바로잡습니다.

자주 묻는 질문

Q.삼각비는 몇 학년에서 배우나요?

중3 2학기에 배웁니다. 고등학교에서는 각을 일반각·호도법으로 넓힌 삼각함수로 이어지며, 이때 특수각 값을 그대로 씁니다.

Q.특수각 표를 꼭 외워야 하나요?

네. 시험에서 계산기 없이 30°, 45°, 60° 값을 바로 써야 합니다. 다만 표를 통째로 외우기보다 두 직각삼각자의 변의 비에서 다시 만들어 내는 방법을 익히면 잊어도 복구할 수 있습니다.

Q.삼각비와 삼각함수는 무엇이 다른가요?

중3 삼각비는 직각삼각형의 예각에서 변의 길이의 비로 정의하고, 0°·90°는 이를 확장해 값을 정합니다(tan 90°는 정하지 않음). 고등학교 삼각함수는 좌표평면의 단위원을 이용해 모든 각(음수, 360° 이상)으로 확장한 것입니다.

Q.이 교재를 인쇄해도 되나요?

네, 상단 인쇄·PDF 저장 버튼으로 출력해 쓰실 수 있습니다. 특수각 표만 따로 오려 문제집에 붙여 두는 방법을 권합니다.

이 교재가 필요한 학년

중3 수학과외 로드맵 보기

삼각비·원의 성질·통계로 이어지는 중3 2학기 흐름을 확인하세요.

학년 페이지

고2 수학과외 로드맵 보기

삼각함수 단원에서 특수각 값이 다시 쓰입니다.

학년 페이지

함께 보면 좋은 교재: 이차함수 그래프 · 경우의 수 총정리 · 로그 공식 총정리 · 피타고라스 정리

작성 기준: 2022 개정 수학과 교육과정(중학교 삼각비) 단원 구성 · 확인일 2026-09-28

특수각 값이 시험장에서 헷갈린다면

표를 외우는 대신 다시 만드는 방법을 1:1로 익히세요.

전화상담